0,999... periodicky se rovná jedné. Fakt!

Narazil jsem na několik webových badatelů, kteří tuto otázku položili a mnoho respondentů, kteří nesouhlasili, dokonce jsem se o netriviálnosti téhle otázky přesvědčil v široké veřejnosti, div jsme se neporvali. Tak jsem si řekl, že tu předložím některé argumenty, které mě napadají, proč by to tak mělo být.

Předem se sluší říct důležitou věc. Jedním z argumentů, které měly mluvit proti tezi, byl totiž ten, který říkal, že v matematice jsou pojmy nedokonale zavedeny lidmi a důsledkem nedokonalostí může být, že takové číslo je rovno jedné. Rád bych zdůraznil, že otázka JE matematická. Pojmy v matematice, i takto elementární, jsou zavedeny velmi konkrétně a definitivně. Realitu s ní nikdy nemůžeme přesně aproximovat, protože jak bych to nazval – to realita je proti matematice „nedokonalá“. Ptáme-li se na vztah rovnosti, mluvíme v číselných hodnotách - konkrétně v desítkové soustavě (což také hraje roli) a zavádíme pojem perioda, měli bychom se s podobnými argumenty krotit a raději přehodnotit své chápání matematických pojmů. Pokud s tímto nesouhlasíte, nemá speciálně pro vás cenu číst dál.

Perioda je nekonečný opakující se rozvoj desetinného čísla. To je myslím první šikmý schod realitou opilého rozumu. Většina z nás si umí nekonečno představit, už ale méně z nás si umí představit jeho důsledky v konkrétních problémech. První věc, která mě napadá v našem případě, je o kolik je 0,9 periodicky menší než 1. Selským rozumem by se mělo jednat o číslo s přéééédlouhým rozvojem nul, a na konci se vyskytne jednička. Jenže ten rozvoj nul je nejenom dlouhý, je nekonečný. Nemá tedy žádný konec, kam umístit zmíněnou jedničku. Rozdíl se tedy zdá být nulový.

Další, alespoň mezi matematiky známou věcí je, že má li číslo periodu, lze jej zapsat pomocí zlomku, protože vzniklo podílem. Je známo, že dělíme-li 1/3 vznikne nekonečný rozvoj 0,333... No a pokud 1/3 násobíme třemi, vznikne 1. Tedy i 0,333... násobeno třemi (0,999...) musí být rovno jedné. Stále pamatujte, že rozvoj je nekonečný. Tím v podstatě tvrdím, že 0,999... je jenom jiný zápis pro jedničku. Jsou dva způsoby jak postupovat při přepočtu periody na zlomek, a tím pochopitelnějším z nich je tento:
x = 0,999...
10x = 9,999...
10x - x = 9x
9,999... - 0,999... = 9
9x = 9 => x = 1

Snad je to pochopitelné. Jeden komentář na webu odpovedi.cz se odvolával na součet nekonečných řad. V jeho případě však nešťastným způsobem, protože svým chybným důkazem o neplatnosti teze vlastně spíš dokázal opak. Tato řada má naprosto stejný charakter jako známá nekonečná řada 1/2 + 1/4 + 1/8 + …, jejíž součet je 1. Oboje jsou geometrické řady. Jediným rozdílem je, že v našem případě je základem mocniny desítka a v čitateli devět (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...), což neporušuje spočetnost geometrické řady – devět vytkneme před závorku a každý podíl dvou sousedních členů musí být roven s podíly všech ostatních sousedních členů (=kvocient), a ten musí být méně než 1.

Pořád mají někteří problém s tím, že se součet nekonečných řad dokazuje pomocí limit, které nám nepodají výsledek, ale hodnotu, které by funkce dosáhla, kdyby mohla. Často se používají při dělení nulou, počítání s nekonečnem, apod. Pokud se můžeme dohodnout bez primitivních důkazů, že dvě výše zmíněné nekonečné řady jsou stejného typu, představme si čtverec. Ten má obsah 1. Rozdělíme jej na půl, pak jednu z těch polovin opět na půl a opět jednu ze čtvrtin na půl. Představme si, že tento proces zopakuji nekonečněkrát – jaký bude součet všech těch ploch dohromady?

Možná mě toho napadlo až příliš. Asi bych neměl psát tak suše vědecky, co...