XPčka

XPčkám se stmívá...

Ono to funguje tak... Hackeři, kteří si někdy říkají Secure Testři (obrazně řečeno), čas od času příjdou na nějakou nedokonalost některého algoritmu a způsobu, jak ji využít. Obvykle to pak zveřejní na svých blozích, nebo to povědí rovnou microsoftu, kdo ví. Potom v microsoftu vytvoří záplatu, která bezpečnostní problém odhalí.

Teď se ale programování záplat ukončilo, takže až nějaký hacker příjde s novým problémem, stane se postupně mezi pirátskou komunitou známým a nějakým způsobem (většinou omezeným) se dostane o něco blíž, k prolomení se do vašeho systému. Pak už je jenom na vás, zda se necháte oblafnout nějakým trikem, který tento jeden nedostatek umožňuje. Postupem času se začne objevovat víc problémů a uživatelé, i ti zkušení, se ocitnou pod palbou sméček, které mu lítají rovnou pod nosem na monitoru. Takže XPčka se sice nestanou nebezpečnými hned, ale riziko stoupá každým měsícem.

Mám-li poradit uživatelům počítačů, kteří si nechtějí pořizovat nový operační systém za brutální částky peněz, třeba i proto, že vaše sestava neposkytuje dostatečný výkon pro visty, sedmičky nebo osmičky, nebo nechcete kupovat licenci, jejíž levnější verze se váže na základní desku a s jejím selháním i končí, přejděte na unixovou distribuci (ubuntu, fedora, linux, MAC, apod.).

Tuhle jsem se musel prolamovat heslem v BIOSU. Někteří z vás asi vědí, že se stačí podívat dovnitř PC a zkratovat určité dva piny - a dojde k resetu továrního nastavení. Takže to byl celkem fofr. Potom jsem se musel prolamovat heslem pro přihlášení do WinXP, a kdyby mi tady fungovala moje stolní sestava, měl bych to za deset minut. Program nazvaný Ophcrack dovede prolomit heslo do XPček během neuvěřitelných deseti sekund. Já měl trochu problémy se za a) dostat k souborům, v nichž jsou hesla uložena právě díky zkurvené desce, za b) problém s bootováním toho počítače se kterým jsem pracoval, a za c) jeden menší problémek při instalaci Ophcracku do distribuce Ubuntu. No a pak to trvalo asi tři vteřiny.

Na webových stránkách vyhodnysoftware.cz jsem se dočetl, proč si tento prodejce myslí, že XPčka není nebezpečné používat, a prodává je za 1190 až 1290 Kč. To je podle mě prvotřídní zlodějna, už jen proto, že sedmičky prodává za nepříliš rozdílných 1890 Kč. Také samozřejmě doporučuje koupit raději sedmičky (stojej víc peněz), ale nadruhou stranu, odrazuje od koupě osmiček (které by zas neprodali, protože jsou drahé) monologem o jejich problémech v začátcích. Chcete-li si ty hovadiny přečíst, jsou ZDE. Upozorňuji, že všechny informace mají pochopitelně podpořit jejich marketing, ne podat reálný obrázek.

Teserakt II

Pokud jde o obrázek v našem předchozím článku, nesmíte to brát tak, jak to vypadá. Krychle, která se v určitém okamžiku nachází uvnitř větší krychle ve skutečnosti není uvnitř, je celá za ní. Zkuste se raději dívat na spojnice úseček a představit si, že jsou všechny navzájem kolmé. Nebo se podívejte na úsečku, a snažte se si její nesrozumitelné zkracování představit jako posun dozadu - od sebe. Nebo si vyberte něktorou z okrajových krychlí, sledujte její rotaci a periférmě pozorujte jak se chová její okolí. Tak se možná nejlépe přiblížíte čtyřrozměrné představě. V předchozím díle jsem se mimojiné snažil vysvětlit jak se dochází k podobě a vlastnostem teseraktu, dnes jsem se raději místo vysvětlování rozhodl poskytnout vizuální zkušenost:

Pro pozorovatelé, zvyklé na trojrozměrný prostor vznikají ve čtyřrozměrném některé nečekané události... Například představíme-li si dvě plochy - pokud jsou rovnoběžné a neshodné, nemají žádný společný bod. Pokud jsou různoběžné, mají společnou přímku. Ve shodnosti pak mají společnou plochu. Ve čtyřrozměrném prostoru narozdíl od trojrozměrného je také možné, aby měli dvě plochy společný právě jeden bod. Asi se to nijak netýká našeho teseraktu, jen předkládám další důsledek vymykající se lidskému chápání.

Idiotská aplikace nekonečných řad a teorie relativity

Kamarád se mě před časem zeptal, pokud vypínač zmáčknu po osmi sekundách, pak po čtyrech, dvou, jedné, půl, čtvrt sekundě a pořád dál, jestli bude po šestnácti vteřinách světlo svítit nebo bude zhasnuté...

Ptal se mě proto, že taková série stisknutí vypínače musí zákonitě po šestnácti sekundách skončit, ale stisknutí vypínače musí proběhnout nekonečněkrát. Protože tento teoretický experiment beru velice vážně, vyberu si značkový vypínač, na takové je totiž dva roky záruka, takže bude sranda ho zlikvidovat za šestnáct vteřin. Jeho reálná životnost bude okolo 100 000 stisknutí, ale v pohodě, k tolika se ani nedostaneme ;) Vzdálenost, kterou musí vypínač urazit při přepínání je tak 5mm, zaručeně bude sranda počítat jeho rychlost.

Pro začátek si jako výchozí polohu vypínače řekneme „vypnuto“ a vyzbrojíme se kalkulačkou. Rozsvítím a počkám osm vteřin. Pak zhasnu a počkám čtyři. Znovu rozsvítím a čekám dvě vteřiny. Zhasnu, po dvou vteřinách rozsvítím, za vteřinu zhasnu. To bylo šest stisknutí v patnácti sekundách. Ve zbylé vteřině musím zmáčknout vypínač už jenom nekonečněkrát, tak se do toho dáme...

Po osmnáctém stisknutí se vypínač pohybuje rychlostí 74 km/h při zhasínání, takže bychom to neměli zkoušet v obci. Dvacáté stisknutí už taknějak hraničí s tím, kolik se vůbec dá autem vytáhnout, 295 km/h... To zas zrovna zhasínáme. Čtyřiadvacátý stisk (logicky opět zhasínací) se pohybuje rychleji než nejrychlejší projektil ze střelné zbraně. Pravděpodobně už dávno před tolikátým stiskem proletěl zdí, ale což, pokračujem.

Když jsem se snažil spočítat po kolika sekundách dochází k 32. stisku, kalkulačka ukázala 16 s – tak máme hotovo ne? Mno bohužel už je to číslo tak blízké šestnácti, že se to vymyká její programové přesnosti. No a teď se dostáváme k hranici proveditelnosti. Matematikcky se lze dostat k jakémukoli praštěnému součtu nekonečných řad, ale pro časoprostor a hmotu platí nějaká pravidla. Při 41. stisknutí vypínače rozsvítíme světlo nejspíš naposledy. To s ním totiž pohnem rychlostí 171798,7 km/s, a když teď zkrátíme čas na polovinu, museli bychom značně překročit rychlost světla...

Co se stane pak? Ehm... Nemám tušení. Aby se nám to podařilo, potřebujeme teoreticky nekonečné množství energie. V teoretickém ohledu tady možná můžeme přistoupit k tomu, že bude stačit energie celého vesmíru, čili proměníme vesmír na 100% entropii. Nebude tedy už moc co zhasínat. Další věc je, že by se vypínač octl v cíli zhasínání dřív, než by byl zmáčknut. Co by to s ním udělalo taky jen těžko předpovědět, ale nějak mám dojem, že mi to nabourává tu 16-ti vteřinovou hranici. Možná by zmizel do jiného vesmíru, možná by se vzhledem k množství energie do něj vložené proměnil na neskutečně masivní černou díru. Každopádně by to dopadlo fatálně a záruční lhůta vypínače by už nebyl až tak zajímavej problém.

Mohl bych spočítat o kolik dřív bude vypínač v poloze vypnuto, než bude zmáčknut, nebo bych mohl při celém tom výpočtu zvážit zrychlení, které musí vypínač mít aby dosáhl rychlosti a nejspíš bych díky tomu zjistil, že bude po záruce mnohem dřív. Ále na to jsem docela málo placenej. Možná někdy jindy přinesu zajímavé závěry, pokud se nějaké objeví.

Obecně zmuchlanej vesmír

Posledně jsme se bavili o tom, že podle speciální teorie relativity se při těsně podsvětelné rychlosti čas relativně zpomaluje. Mimo jiné, se také ve směru pohybu zkracují vzdálenosti. A priori letíme-li těsně podsvětelnou rychlostí tak ano, okolí je zpomalené, stejně tak my jsme zpomaleni pro okolí, a kdybychom před sebe svítili baterkou, zdálo by se nám světlo velice rychlé. Pro vnější pozorovatele to dává smysl, oni v pohybu mají zpomalený čas, takže se jim uvnitř bude zdát, že jim světlo utíká rychleji, než jak to tady vidím já. Z pohledu letících už je ta představa horší - světlo nám uteče hrozně rychle, my se pohybujeme hrozně rychle a támhle na zemi jsou zpomalení, měli by tedy vidět světlo utíkat mnohem rychleji. Tady to částečně zachraňuje ta kontrakce délek. Délky se pro nás zkrátí, ale pro ty venku zůstávají stejné (vyjma pohybujícího se objektu, který bude také zkrácen), takže světlo musí ve skutečnosti urazit větší vzdálenost, než jakou my uvnitř vidíme. Zbytek nesrovnalostí řeší relativita současnosti.

Tak to by byl souhrn speciální teorie relativity. Některé jevy jsou celkem spolehlivě dokázané díky urychlovači částic. Částice, které mají v klidu velmi krátkou životnost se ve velmi vysokých rychlostech udržely "naživu" mnohem déle. Obecnou teorii podporují mnohé další měřené vlastnosti vesmíru - nedávno pozorované gravitační vlny, černé díry, pokusy s vlivem zrychlení na čas... Mimochodem správnost pozorování gravitačních vln se zatím prověřuje, ale pokud by se výsledky ukázaly správné, došlo by zřejmě k hromadné sebevraždě mnoha kosmologických teorií, možná i některých teoretiků. Některé teorie gravitační vlny nepředpokládají vůbec a některé předpokládají jejich projev v jiné míře, než bylo naměřeno.

Myšlenka relativity je taková, že každá hmota nebo hmotný objekt se ve vesmíru pohybuje po nejkratší dráze. Tato dráha se ale nenachází pouze ve třech rozměrech, ale také v čase. Odtud se bavíme o časoprostoru. Hmota, jako třeba planeta, způsobuje zakřivení časoprostoru. Po těchto čárách křivosti pak mají tendenci putovat další objekty a padat směrem k planetě. Nádherně tuto představu uplatníme při ponížení dimeze vesmíru na dvourozměrnou. Pokud je vedle planety nepohyblivý objekt vzhledem k této planetě, stále se pohybuje v čase. Vlivem křivosti se jeho pohyb v čase postupně mění v pohyb v prostoru, podobně jako se polohová energie mění v pohybovou v nestabilní soustavě.

Jak nás to napadlo? Pokud jsme někam přitahováni, měli bychom pociťovat působení síly. To se ale neděje, ve chvíli, kdy padáme k zemi. Působení gravitace se tedy nedá považovat za působení síly. Proto vznikla myšlenka nejkratší trajektorie nikoli v prostoru, ále v časoprostoru. Sílu pociťujeme až zde, na zemi, působením země na nás. Země nám brání se pohybovat po nejkratších trajektoriích časoprostoru.

V souvislosti s tím by se podle relativistického modelu měl objekt, který je vychylován z nejkratší dráhy - působí na něj síla - rychleji pohybovat v čase. Jinými slovy objekty, které pociťují zrychlení nebo zpomalení, stárnou rychleji. Tentokrát však né relativně, ale absolutně - dilatace času. Zrychlující nebo zpomalující objekt vnímá okolní vesmír časově zpomalený, zatímco okolní vesmír vnímá objekt zrychlený. Když se tedy vymaníme z působení síly na naše nohy od Země a necháme se třeba "padat" na zemské orbitě, začnou se naše hodinky zpožďovat za hodinkami pozemšťanů.

A jak si tady tak popisuju tuhle slavnou teorii, nechám si prostor na příští část, kde se budu věnovat některým zmíněným i nezmíněným paradoxním jevům.

Hyperkrychle

Nejspíš už jste slyšeli pojem hyperkrychle, přinejmenším z filmové série Kostka. Jedná se o vícerozměrný ekvivalent krychle, tak jako je krychle trojrozměrným ekvivalentem čtverce. Možná by stálo i za zmínku, že češtěji řečeno se jedná o nadkrychli. Teoreticky se dá počítat s krychlí čtyř, pěti, šesti, prostě libovolněrozměrnou. Konkrétní čtyř a více rozměrná krychle se označuje slovem -rakt, s řeckou číselnou předponou, tedy např. teserakt, penterakt, hexerakt, atd.

Jak asi vypadá geometrie teseraktu... Teserakt je tvořen osmi stěnami, které v této dimenzi zastupují krychle. Ze čtverce vytvoříme krychli tak, že kopírujeme čtverec na stejném místě a každý bod původního čtverce bude spojen úsečkou s totožným bodem v kopii. Kopii poté táhneme ve směru nové osy do vzdálenosti o délce hrany původního čtverce, spojnice původního a nového pak produkují další čtyři stěny. Tradá, krychle.

Sranda příjde, když si představíme co to znamená pro tvorbu teseraktu z krychle. Zkrátka a dobře vytahujeme totožnou krychli ve směru čtvrté osy, přičemž každá stěna této krycle produkuje při tažení novou krychli. Každá původní stěna společně s její sestrou na nové krychli jsou protilehlé stěny nové krychle. Jelikož má krychle šest stěn, vznikne šest krychlí. Zbylé dvě jsou ta původní a ta vytažená.

Rotující teserakt

V každé spojnici teseraktu se scházejí čtyři navzájem kolmé úsečky. Těchto spojnic má teserakt šestnáct. Všechny úsečky jsou samozřejmě stejně dlouhé. První a druhá krychle jich mají každá dvanáct, a při tažení vznikne dalších osm ze spojnic krychlí (protože krychle má osm hran). To dělá celkem 32 úseček. Těžko si lze představit, jak vypadá teserakt v celé své kráse, ale je možné aproximovat jeho vzhled při otáčení kolem osy kolmé na tu novou, nepředstavitelnou osu, v trojrozměrném prostoru, podobně jako aproximujeme krychli do dvourozměrného - čtverec a směrem ke středu vytažený menší čverec spojen s původním v totožných bodech. U teseraktu rovněž posouváme novou krychli směrem ke středu (tak že ji zmenšíme směrem ke středu) a uvažujeme, že je od nás vzdálena ve směru čtvrté osy. My jej na obrázku pozorujeme přímo po směru nové osy, a je to celkem uchvátivý pohled.

Tohle si ale zaslouží druhý, propracovanější díl...

0,999... periodicky se rovná jedné. Fakt!

Narazil jsem na několik webových badatelů, kteří tuto otázku položili a mnoho respondentů, kteří nesouhlasili, dokonce jsem se o netriviálnosti téhle otázky přesvědčil v široké veřejnosti, div jsme se neporvali. Tak jsem si řekl, že tu předložím některé argumenty, které mě napadají, proč by to tak mělo být.

Předem se sluší říct důležitou věc. Jedním z argumentů, které měly mluvit proti tezi, byl totiž ten, který říkal, že v matematice jsou pojmy nedokonale zavedeny lidmi a důsledkem nedokonalostí může být, že takové číslo je rovno jedné. Rád bych zdůraznil, že otázka JE matematická. Pojmy v matematice, i takto elementární, jsou zavedeny velmi konkrétně a definitivně. Realitu s ní nikdy nemůžeme přesně aproximovat, protože jak bych to nazval – to realita je proti matematice „nedokonalá“. Ptáme-li se na vztah rovnosti, mluvíme v číselných hodnotách - konkrétně v desítkové soustavě (což také hraje roli) a zavádíme pojem perioda, měli bychom se s podobnými argumenty krotit a raději přehodnotit své chápání matematických pojmů. Pokud s tímto nesouhlasíte, nemá speciálně pro vás cenu číst dál.

Perioda je nekonečný opakující se rozvoj desetinného čísla. To je myslím první šikmý schod realitou opilého rozumu. Většina z nás si umí nekonečno představit, už ale méně z nás si umí představit jeho důsledky v konkrétních problémech. První věc, která mě napadá v našem případě, je o kolik je 0,9 periodicky menší než 1. Selským rozumem by se mělo jednat o číslo s přéééédlouhým rozvojem nul, a na konci se vyskytne jednička. Jenže ten rozvoj nul je nejenom dlouhý, je nekonečný. Nemá tedy žádný konec, kam umístit zmíněnou jedničku. Rozdíl se tedy zdá být nulový.

Další, alespoň mezi matematiky známou věcí je, že má li číslo periodu, lze jej zapsat pomocí zlomku, protože vzniklo podílem. Je známo, že dělíme-li 1/3 vznikne nekonečný rozvoj 0,333... No a pokud 1/3 násobíme třemi, vznikne 1. Tedy i 0,333... násobeno třemi (0,999...) musí být rovno jedné. Stále pamatujte, že rozvoj je nekonečný. Tím v podstatě tvrdím, že 0,999... je jenom jiný zápis pro jedničku. Jsou dva způsoby jak postupovat při přepočtu periody na zlomek, a tím pochopitelnějším z nich je tento:
x = 0,999...
10x = 9,999...
10x - x = 9x
9,999... - 0,999... = 9
9x = 9 => x = 1

Snad je to pochopitelné. Jeden komentář na webu odpovedi.cz se odvolával na součet nekonečných řad. V jeho případě však nešťastným způsobem, protože svým chybným důkazem o neplatnosti teze vlastně spíš dokázal opak. Tato řada má naprosto stejný charakter jako známá nekonečná řada 1/2 + 1/4 + 1/8 + …, jejíž součet je 1. Oboje jsou geometrické řady. Jediným rozdílem je, že v našem případě je základem mocniny desítka a v čitateli devět (9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...), což neporušuje spočetnost geometrické řady – devět vytkneme před závorku a každý podíl dvou sousedních členů musí být roven s podíly všech ostatních sousedních členů (=kvocient), a ten musí být méně než 1.

Pořád mají někteří problém s tím, že se součet nekonečných řad dokazuje pomocí limit, které nám nepodají výsledek, ale hodnotu, které by funkce dosáhla, kdyby mohla. Často se používají při dělení nulou, počítání s nekonečnem, apod. Pokud se můžeme dohodnout bez primitivních důkazů, že dvě výše zmíněné nekonečné řady jsou stejného typu, představme si čtverec. Ten má obsah 1. Rozdělíme jej na půl, pak jednu z těch polovin opět na půl a opět jednu ze čtvrtin na půl. Představme si, že tento proces zopakuji nekonečněkrát – jaký bude součet všech těch ploch dohromady?

Možná mě toho napadlo až příliš. Asi bych neměl psát tak suše vědecky, co...

Horizont události

Co se mě týče, existují čtyři definice horizontu události. Počítám totiž také film Horizont události, kde vesmírná loď Horizont události cestuje k jiné, dávno ztracené lodi, která náhle začala vysílat nouzový signál. A říkám to jen proto, že stojí za to. Dalším horizontem je hranice kolem černé díry, hranice vesmíru, a okraj červí díry.

Nejprve k rozpínání vesmíru. Zajímavé je, že nikde ve vesmíru neexistuje střed, od nějž by se vesmír rozpínal. Vesmír se rozpíná všemi směry stejnou rychlostí. To má za důsledek, že vzdálenější dva body prostoru se od sebe vzdalují rychleji než dva blízké body. Vedle toho navíc vesmír nemá pro rychlost rozpínání dvou vzdálených bodů prostoru žádný limit, jako je například mezní rychlost hmoty a rychlost světla, proto je také možné, aby se od sebe dva velmi vzdálené objekty vzdalovali dokonce rychleji, než světlo. Nejde totiž o pohyb hmoty samotné, ale o hmotu unášenou prostorem. Hranice, za kterou se od nás vše pohybuje nadsvětelnou rychlostí, se nazývá horizont události. Nikdy, ani kdybychom čekali nekonečně dlouho, nemůžeme navštívit, nebo jen spatřit cokoli za horizontem. Světlo je v pohybu směrem k nám rychlostí světla unášeno od nás vyšší rychlostí.

Černá koule představuje horizont

Další horizont události se uvádí v souvislosti s černými děrami. Ve své podstatě má mnoho společného s horizontem vesmíru, pouze není způsoben rozpínáním vesmíru, ale obrovskou gravitační silou černých děr. Úniková rychlost je rychlost, které je třeba dosáhnout, aby bylo možné uniknout z gravitačního působení. Nějaká hodnota je na zemi, ovšem proti černé díře samozřejmě naprosto zanedbatelná. Úniková rychlost se mění podle toho, jak blízko zdroji gravitace se objekt vyskytuje, v závislosti na velikosti gravitační síly. Ta mimojiné způsobuje zakřivení světelných paprsků, takže okolí horizontu události připomíná optickou čočku. V určité vzdálenosti od těžiště singularity úniková rychlost překročí rychlost světla. Zde začíná horizont události, světlo již nemůže uniknout a tím pádem se hranice jeví jako čerň. Nemůže uniknout ani žádná hmota nebo informace. Důsledek je tedy stejný pro oba typy horizontu události.

O červí díře si musím nejprv něco zjistit, ovšem díky tomu, že se jedná o zakřivení prostoru, by se měla chovat dost jako černá díra. Páni, vypadá to, že s těmi definicemi extrémních vesmírných těles si užiju ještě spoustu srandy...